Tópico 09 · Equações governantes
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A partícula como modelo matemático
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Conceito-chave: a partícula, no software, é um modelo matemático. O computador enxerga um ponto coordenado no espaço (x,y,z) associado a matrizes e vetores com massa, inércia e propriedades equivalentes pré-calculadas. O limite físico de uma partícula esférica é apenas uma restrição geométrica (x²+y²+z²=R²) usada para identificar se dois pontos se aproximaram o suficiente para sobrepor seus limites. Ao visualizar milhares de esferas coloridas no ParaView, observa-se uma interface gráfica renderizando formas 3D ao redor desses pontos coordenados.
Com as propriedades individuais e de interação definidas, o software resolve as equações clássicas do movimento. O modelo mais adotado (LIGGGHTS) é o não-linear de esfera macia de Hertz-Mindlin. Para cada partícula i, a cada passo de tempo (tipicamente 10⁻⁶ s), a 2ª Lei de Newton é resolvida em duas frentes, com base no centro de massa.
Translação
mi·ai = mi·(dvi/dt) = Σ(Fn,ij + Ft,ij) + mi·g
- mi massa da partícula (kg), de miligramas (sementes) a quilogramas (rochas).
- ai, vi aceleração (m/s²) e velocidade linear (m/s) do centro de massa em 3D.
- Σ(Fn,ij + Ft,ij) somatório das forças normais e tangenciais das interações com vizinhos j ou paredes.
- mi·g força gravitacional sobre o centro de massa.
Rotação
Ii·(dωi/dt) = Σ(Rc,ij × Ft,ij) + Σ τr,ij
- Ii momento de inércia (kg·m²), dependente da geometria e distribuição de massa.
- ωi velocidade angular (rad/s).
- Rc,ij × Ft,ij torque da força tangencial de atrito; Rc,ij liga o centro de massa ao ponto de contato — o produto vetorial converte o deslizamento em giro.
- τr,ij torque que simula o atrito de rolamento, freando a rotação.
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Destaque — a 3ª Lei de Newton na interação computacional: calcular a colisão duas vezes (A em B e B em A) seria custoso. O DEM aplica a 3ª Lei: há um único cálculo de força por contato. O algoritmo identifica o par ij, resolve a força Fij com as propriedades equivalentes (R*, E*, m*), aplica Fij na partícula i e −Fij na partícula j. A interação é única, mas seus efeitos vão para os dois centros de massa.