Tópico 09 · Equações governantes
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Componente tangencial, limite de Coulomb e rolamento
Força tangencial — Mindlin
Ft,ij = −[8·G*·√(R*δn)]·δt + [2√(5/6)·β·√(St·m*)]·vt,rel
O termo elástico (mola lateral) depende de G* e do deslocamento tangencial histórico δt, acumulado desde que o contato nasceu. Como β = ln(e)/√(ln²e+π²) < 0, o colchete de amortecimento vale −γt (γt≥0): o termo é, portanto, −γt·vt,rel, que se opõe ao escorregamento e dissipa energia. (Na equação normal o mesmo colchete aparece com sinal trocado porque lá vn,rel é a velocidade de aproximação, positiva na compressão, e o termo elástico está escrito em módulo.)
⚠️
Critério de Coulomb (só a mola): se kt|δt| > μs|Fn,ij|, o histórico é truncado: δt ← δt·μs|Fn,ij|/(kt|δt|), e o amortecedor tangencial é descartado. O teste é feito apenas com a parte da mola, kt|δt| — não com a força tangencial total.
// Manual do LIGGGHTS:
"the tangential force grows according to a tangential spring and
dash-pot model until Ft,spring/Fn = cof and is then held at
Ft,spring = Fn·cof"
// O que é truncado — reescala-se o HISTÓRICO δt, não só a força:
"the tangential overlap is truncated to fulfil Ft ≤ μFn"
"the damping contribution is only added in time-steps
where there is no slip"
Torque de rolamento (constant directional torque)
τr,ij = −μr·R*·(kn·δn)·(ωr,cis/|ωr,cis|)
- μr coeficiente de atrito de rolamento do par, geralmente 0,01–0,15.
- kn·δn a parte puramente elástica da força normal — NÃO é a força normal total |Fn,ij|. O manual do LIGGGHTS escreve
torque_rf = rmu*k_n*delta_n*w_r_shear/mag(w_r_shear)*(R*), sem o termo de amortecimento. A distinção importa no fim do contato, quando −γn·vn chega a tornar Fn negativa.
- ωr,cis projeção do giro relativo ωi−ωj no plano de cisalhamento (a componente normal, de torção, é subtraída por padrão: torsionTorque=off).
📌
Só o versor de ωr,cis entra: o módulo do torque é constante, independente da velocidade de giro — daí o nome "constant directional torque". O sinal negativo garante que o torque se oponha à rotação.
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Síntese: ao fim do passo de tempo, as forças da partícula i são somadas; divide-se pela massa para obter a aceleração, integra-se para a velocidade e novamente para a nova posição. As forças elásticas repelem as partículas; os coeficientes de atrito e restituição removem energia do sistema, reproduzindo o repouso gravitacional de uma pilha real.