Tópico 14 · Integração temporal e Tempo de Rayleigh 1/2

Por que o Δt não aparece na equação da mola

A equação da força normal não exibe explicitamente o tempo porque as equações de contato são de estado espacial, não temporais diretas: na equação de Hertz, δn é calculado com base na posição geométrica instantânea. A evolução no tempo vem da iteração do integrador — no LIGGGHTS, o velocity-Verlet (run_style verlet), com fix nve/sphere atualizando posição, velocidade e velocidade angular.

📖
Manual do LIGGGHTS: "the verlet style is a standard velocity-Verlet integrator".

O passo tem forma meio-chute → passo cheio → força → meio-chute:

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Primeiro meio-chute (initial_integrate)
Com a força guardada do passo anterior: v(n+1/2) = vn + (Δt/2)(Fn/m), e o análogo para ω.
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Posição
Passo cheio com a velocidade de meio passo: x(n+1) = xn + Δt·v(n+1/2). Calcula-se a distância entre centros; havendo invasão, obtém-se δn.
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Força
A equação de Hertz-Mindlin recebe δn e a velocidade relativa e devolve F(n+1) — a única avaliação de força do passo.
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Segundo meio-chute (final_integrate)
v(n+1) = v(n+1/2) + (Δt/2)(F(n+1)/m). O ciclo recomeça.
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Destaque: velocity-Verlet não é leapfrog. Para forças que dependem só da posição, as duas formas são algebricamente equivalentes. Mas as forças do DEM dependem também da velocidade (amortecedores −γn·vn e −γt·vt) — nesse caso as duas divergem: o velocity-Verlet avalia a força com a velocidade de meio passo v(n+1/2), a informação disponível no instante em que a força é calculada.
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O δn cresce passo a passo fora da equação de contato — o computador fatia o tempo e resolve a estática de cada fatia.
Prof. Cláudio Roberto Duarte — UFU · DEM & LIGGGHTS Fonte: dem_detalhamento.php — Tópico 14