DEM · Modelo de Contato Hertz–Mindlin

Modelo de Contato de Hertz–Mindlin

Modelo padrão de contato no DEM: parte normal por Hertz (força não-linear Fₙ ∝ δ³ᐟ²) e parte tangencial por Mindlin (mola com histórico, limitada pelo atrito μ·Fₙ) — cada contato é um par mola–amortecedor.

corrigido
MODELO DE CONTATO HERTZ–MINDLIN (MOLA–AMORTECEDOR) – DEM
Modelo de contato não linear que representa as forças normais e tangenciais entre partículas
ESQUEMA DO CONTATO ENTRE DUAS PARTÍCULAS
n t δₙ Partícula i Rᵢ, mᵢ Partícula j Rⱼ, mⱼ
MODELO HERTZ–MINDLIN (MOLA–AMORTECEDOR)
Direção normal (n)
kₙ(δₙ) cₙ Fₙ
δₙ > 0 (compressão)
Direção tangencial (t)
kₜ(δₙ) cₜ Fₜ
Deslizamento limitado por
critério de Coulomb
PARÂMETROS DO MODELO
ParâmetroDescriçãoUnidade
Rᵢ, RⱼRaios das partículas i e j[m]
mᵢ, mⱼMassas das partículas i e j[kg]
Eᵢ, EⱼMódulos de Young[Pa]
νᵢ, νⱼCoeficientes de Poisson[–]
δₙInterpenetração normal[m]
δ̇ₙVelocidade relativa normal[m/s]
δₜDeslocamento tangencial acumulado[m]
δ̇ₜVelocidade relativa tangencial[m/s]
kₙRigidez normal (dependente de δₙ)[N/m]
kₜRigidez tangencial[N/m]
cₙCoef. de amortecimento normal[N·s/m]
cₜCoef. de amortecimento tangencial[N·s/m]
μCoeficiente de atrito[–]
EQUAÇÕES DO MODELO
FORÇA NORMAL (HERTZ)
Lei de Hertz com amortecimento viscoso
Fn = kn δn + cn δ̇n
Rigidez normal (Hertz) — depende de δₙ
kn = 43 E* √(R* δn)
FORÇA TANGENCIAL (MINDLIN)
Lei de Mindlin com amortecimento viscoso
Ft = −kt δt − ct δ̇t
Rigidez tangencial
kt = 8 G* √(R* δn)
CRITÉRIO DE ATRITO (COULOMB)
Deslizamento ocorre quando:
|Ft| > μ Fn
Se |Ft| > μFn ⇒ deslizamento
Ft = −μ Fn · vt|vt|
δₜ é atualizado de acordo com o deslizamento
PARÂMETROS EFETIVOS
1E* = 1−νi²Ei + 1−νj²Ej     1R* = 1Ri + 1Rj
PARÂMETRO EFETIVO DE CISALHAMENTO
1G* = 2−νiGi + 2−νjGj    com   G = E2(1+ν)
CINEMÁTICA RELATIVA NO CONTATO
Velocidade relativa no ponto de contato
vrel = vi − vj + ωi×ri − ωj×rj
Componentes normal e tangencial
vn = vrel·n
vt = vrel − vn n
⇒
Atualização do deslocamento tangencial acumulado
δ̇t = vt  →  δtt+Δt = δt + δ̇t Δt
RESUMO DO MODELO
  • Força normal: comportamento não-linear (Hertz) + amortecimento viscoso
  • Força tangencial: comportamento elástico (Mindlin) + amortecimento viscoso
  • Atrito: limitado pelo critério de Coulomb
  • Adequado para simular o comportamento realista de materiais granulares em DEM
Legenda
n direção normal
t direção tangencial
δ interpenetração
v velocidade
ω velocidade angular
Referências: Hertz (1881); Mindlin (1949); Cundall & Strack (1979); Thornton (2000)
Contato normal (Hertz) + tangencial (Mindlin) com amortecimento — base das forças F_c resolvidas a cada passo de tempo do DEM. Correção: Fn=knδn+cnδ̇n (era δn3/2, incompatível com kn já depender de δn).