A massa cruza as faces continuamente. A pergunta é "quanta massa por segundo". Por isso o fluxo é ṁ = ρ·u·dy·dz [kg/s], não kg.
O acúmulo no volume é uma taxa: ∂ρ/∂t·dV = ṁentra − ṁsai. A caixa está sempre 100% cheia — acumular é a densidade subindo (o fluido comprime), não um nível enchendo. O termo ∂/∂t (variação no tempo num ponto fixo) é a base da visão Euleriana.
O valor na face de saída (x+dx) vem do valor na entrada (x) mais a variação × distância:
Os termos de ordem dx² somem quando dx→0. Euler usou o diferencial de Leibniz (= esse 1º termo); Taylor (1715) já existia, mas o nome "Taylor" é leitura moderna.
Quando ∂/∂t = 0, o acúmulo zera → entra = sai. Foi essa hipótese que permitiu integrar Euler e chegar em Bernoulli.